jueves, junio 01, 2006

Matematica

Preguntas sobre el aspecto matemático que permitirá resolver parte del problema planteado en el ABP CONTAMINACIÓN

1.- ¿Qué es una función? Sus elementos y denotación.

En matemáticas se denomina función a la correspondencia o relación de cada elemento de un conjunto A con un único elemento del conjunto B. Se simboliza con

ƒ: A ------> B


Funciones elementales

Constantes:

f(x) = a, donde a es un número real. Dominio: todos los reales. Imagen: el punto a. Crecimiento: ni creciente ni decreciente. Inyectividad: ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.

Gráficos de funciones elementales

Identidad:

f(x) = x. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es biyectiva. Su inversa es ella misma. Paridad: es impar.

Gráficos de funciones elementales

Potencias pares:

f(x) = x2n. Dominio: todos los reales. Imagen: los reales mayores o iguales a cero. Crecimiento: son decrecientes en (-oo, 0) y crecientes en (0, +oo). Inyectividad: no son inyectivas ni sobreyectivas. Paridad: son pares.

Gráficos de funciones elementales

Potencias impares:

f(x) = x2n+1. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son siempre crecientes. Inyectividad: son biyectivas. Su inversa es f-1(x) =Funciones elementales .Paridad: son impares.

Gráficos de funciones elementales

Raíces pares:

f(x) = Funciones elementales. Dominio: reales positivos más el cero. Imagen: reales positivos más el cero. Crecimiento: son crecientes. Inyectividad: solo son inyectivas. Paridad: no son ni pares ni impares.

Gráficos de funciones elementales

Raíces impares:

f(x) = Funciones elementales. Dominio: todos los reales. Imagen: todos los reales. Crecimiento: son crecientes. Inyectividad: son biyectivas. Su inversa es f-1(x) = x2n+1. Paridad: son impares.

Gráficos de funciones elementales

Logaritmo:

f(x) = ln(x). Dominio: los reales positivos. Imagen: todos los reales. Crecimiento: es creciente siempre. Inyectividad: es biyectiva. Su inversa es f-1(x) = ex. Paridad: no es ni par ni impar.

Gráficos de funciones elementales

Exponencial:

f(x) = ex. Dominio: todos los reales. Imagen: reales positivos. Crecimiento: es creciente. Inyectividad: es inyectiva pero no sobreyectiva. Paridad: no es ni par ni impar.

Gráficos de funciones elementales

Seno:

f(x) = sen(x). Dominio: todos los reales. Imagen: es el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es impar.

Gráficos de funciones elementales

Coseno:

f(x) = cos(x). Dominio: todos los reales. Imagen: el intervalo [-1, 1]. Crecimiento: es creciente y decreciente en varios intervalos. Inyectividad: no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Paridad: es par.

Gráficos de funciones elementales

Otras funciones importantes

Lineales no constantes:

f(x) = a·x + b, con a distinto de cero. Al número a se lo denomina pendiente, y al b ordenada al origen. El dominio y la imágen son los números reales. Son biyectivas, con inversa f-1(x) = La función es creciente si la pendiente es positiva y decreciente en el caso contrario.

Cuadrática:

f(x) = a·x2 + b·x + c, con a distinto de cero. Tiene dominio igual a todos los reales. Su imágen es [-b/2·a, +oo) si a es positivo, o (-oo, -b/2·a] si a es negativo. No es ni inyectiva ni sobreyectiva. Si a es positivo, es decreciente en (-oo, -b/2·a) y creciente en (-b/2·a, +oo); si a es negativo, es creciente en (-oo, -b/2·a) y decreciente en (-b/2·a, +oo).

Módulo:

Es un caso particular de una función partida. Se define comoFunciones elementales El dominio de esta función son todos los reales, la imagen el intervalo [0, +oo). No es inyectiva ni sobreyectiva. Es decreciente en el intervalo (-oo, 0) y creciente en (0, +oo). Es una función par.

Gráficos de funciones elementales

Estas funciones matemáticas solo manejan valores dentro de los rangos de los tipos long y doble de su ordenador. Si necesita manejar números mayores, pegue un vistazo a funciones matemáticas de precisión arbitraria.

Bibliografía:

La página de donde he sacado esta información es:

http://www.phpbuilder.com/manual2/manual/es/ref.math.php

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_%28matem%C3%A1tica%29

1.1.- ¿Qué es un par ordenado? ¿Cómo se grafica?

Es un conjunto de dos elementos donde el primero se distingue del segundo. Si los elementos son A e B, el par ordenado se escribe; (A,B)

Una pareja ordenada (A B) representa un elemento de una relación, donde A pertenece al dominio y B al contra dominio.

Hay ocasiones en que a una pareja ordenada la podremos encontrar indicada de la forma (A, f(A) ) , esto es para señalar que la segunda variable f(A) depende directamente de la variable A, donde f(A) = B.

F={ (1, 2), (3, 2), (5,4), (7,4), (7,10), (11,12), (13,14) y (15,16)

Notación:

(A,B) ; se lee "El par ordenado A coma B"

En A primera componente

En B segunda componente.

Ejemplos:

(3,6) ; (-2,5) ; (7,0) ; (-4,-2) ; (verde, rojo) ; (A, azul)

Bibliografía:

Esta información ha sido extraída de la siguiente página Web:

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes2v/par_or6.gif

1.2.- ¿Qué es el eje de coordenadas?

Es también llamado plano cartesiano. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y. Su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes. Veamos la siguiente recta numérica.

Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto.

Por ejemplo:

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html#coorde

1.3.- ¿Qué es una relación?

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática)

Por ejemplo:

Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I

Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Producto cartesiano

Un producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados posibles.

Un par ordenado se escribe de la siguiente forma:

(x,y)

Si «x» e «y» son dos objetos matemáticos, el objeto (x,y) se llama «par ordenado de primera componente x y segunda componente y». Por definición la relación (x,y) = (x',y') equivale a x = x' e y = y'

Definición

Sean A y B, dos objetos cualesquiera, no vacíos, llamaremos producto cartesiano de A por B, al conjunto de todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente en B y lo anotaremos « A B »; por tanto:

La página de donde he sacado esta información es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

1.4.- ¿Qué formas hay de representar una relación o una función?

Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X

Y

-1

1

0

0

1/2

1/4

1

1

2

4

Mediante el uso de diagrama sagital

Mediante el uso de diagrama de Árbol

Mediante el uso de diagrama de caminos



Por el uso de plano cartesiano:

La página de donde he sacado esta información es:

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/zex17.png

http://www.arrakis.es/~mcj/azar/azar1008.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Naofuncao1.png

1.5.- Explica si la función es una relación o ésta es una función.

Toda función es una relación, esto quiere decir que una función surge de la presencia de:

1) Un conjunto de partida

2) Un conjunto de llegada

3) Una regla de correspondencia

*Para que una relación sea función,

Debe cumplirse lo siguiente:

“Cada elemento de su dominio debe tener una sola imagen”

*No toda relación es función

Bibliografía:
Esta información ha sido extraída del libro:
MATEMATICA 3 tercer año de secundaria.
Autor: Manuel Coveñas Naquiche

1.6.- Explica qué es dominio y rango de una función y cómo determinarlos.

D (f) Dominio de la función; conjuntos de todas las preimagenes

R (f) Rango de la función; conjunto de todas las imágenes

Ejemplo:(¿Cómo hallarlos?)

Dado los conjuntos X=1,2,3, Y=1,5,8,27. Sea F una función de X en Y definida por .alt="$F=" type="#_x0000_t75">

Su conjunto solución es S=(1,1),(2,8),(3,27), y su representación, mediante un diagrama sagital. Teniendo en cuenta el concepto de dominio y rango de una relación, se puede hacer lo mismo para una función, luego Dom(f)=1,2,3 y R(f)=1,8,27. Observa que el elemento 5 del conjunto Y no pertenece al rango de la función porque no esta relacionado con ningún elemento de X. A los elementos del rango de una función también se les suele llamar conjunto de imágenes de la función, luego 1 es imagen de 1, mediante la función F, o también se puede escribir 1=f(1), 8 es la imagen de 2 mediante la función F, es decir, 8=f(2), 27 es imagen de 3 mediante la función F, es decir, 27=f(3).

Bibliografía:

Esta información ha sido extraída del

Libro: MATEMATICA 3 tercer año de secundaria.

Autor: Manuel Coveñas Naquiche

Este libro ha sido consultado el 29/05/06.

1.7.- ¿Qué es la regla de correspondencia en una función?

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos:

ó

Para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

Bibliografía:

Esta información ha sido sacada de la página:

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/intro.html

2.- Detalla y define cada una de las clases de funciones.

Función lineal:

Toda función de la forma , en donde a0 ,a1 son constantes, o también ,es una función lineal y su representación grafica es una línea recta, y lo que también podemos afirmar es que cuando nosotros deseamos conocer la pendiente de la recta lo que tendremos que hacer será ver al numero que acompaña la x.

Función constante:

Toda función de forma , donde c es una constante, recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real x del dominio, le asigna un mismo valor.

Función Valor absoluto:

La función , se llama función valor absoluto, y tiene la característica que la gráfica divide al primero y al segundo cuadrante.

Función parte entera:

La función , para , llamada función parte entera, función escalonada o función mayor entero, tiene como dominio el conjunto R y el rango lo conforman todos los enteros.

Funcion compuesta

La definición indica que al calcular (f o g)(x), primero se aplica la función g a x, y después la función f a g(x) El dominio de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.

Biografía:

Esta información se ha extraído de las siguientes páginas Web:

http://personal5.iddeo.es/ztt/graf/G1_Graficas_elementales.htm

2.1.- Determina por lo menos cinco aplicaciones prácticas de las funciones.

1) Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4.

Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5.

Resolución:

- La función f + g se define como

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3.

(f + g)(2) = 5 · 2 - 3 = 7

(f + g)(-3) = 5(-3) - 3 = -18

(f + g)(1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

f(2) = 3.2 + 1 = 7

(f + g)(2) = 7 + 0 = 7

g(2) = 2.2 - 4 = 0

2) Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 - 3 - (x + 3) = x2 - 3 - x - 3 = x2 - x – 6

(f - g)(1/3) = (1/3)2 - 1/3 - 6 = - 56/9
(f - g)(-2) = (-2)2 - (-2) - 6 = - 0
(f - g)(0) = (0)2 - 0 - 6 = - 6


Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

3) Dadas las funciones f(x) = src="file:///C:/DOCUME~1/WALTER~1/CONFIG~1/Temp/msoclip1/01/clip_image040.gif" href="http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_231/matematica_funciones_13.gif">- 3 y g(x) = 2.x + 1, definir la función f.g.

Resolución:

(f.g)(x) = f(x).g(x) = ( - 3).(2.x + 1) = x2 - 11.x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

4) Dadas las funciones f(x) = - x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Resolución:

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

5) Dada la función f(x) = x2 + x - 2, calcular 3.f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f.

Resolución:

(3.f)(x) = 3.f(x) = 3.(x2 + x - 2) = 3.x2 + 3.x - 6


(3.f)(2) = 3.22 + 3.2 - 6 = 12

(3.f)(1) = 3.12 + 3.1 - 6 = 0

(3.f)(0) = 3.02 + 3.0 - 6 = - 6

3.- Describe y analiza las funciones lineales

Función lineal

Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.

En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor.

En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.

Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo

y = mx +b

Con las explicaciones dadas grafique las rectas que siguen, en el sistema de ejes de la página siguiente:

y = 2x +2

y = -(1/2) x -2

y = (1/3)x +2

y =-3x -2

y = 2x+3

y = (1/3)x +3

3.1.- ¿Cómo graficar una función lineal?

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos según las coordenadas que elegidas:

xo = 1, yo = 4, x1 = 7, y1 = 6

Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.

Tomando al ángulo de guía (a) sobre la gráfica velos que el cateto adyacente mide 5 y que es el opuesto mide 2.

¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos?, hemos restado. La resta (diferencia) se representa por el símbolo D; de allí que al restar x obtuvimos Dx (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos Dy ( diferencial y ). Así el cateto adyacente. y el cateto opuesto están representados por Dx y por Dy respectivamente.

¿Qué función trigonométrica relaciona Dx y Dy con el ángulo del triángulo?, la tangente.

En este caso ¿Qué valor tiene?

3.2.- ¿Cómo explicaríamos la pendiente de una función lineal?

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1, y1), (x2, y2), que están en una recta. La inclinación o la pendiente “m” de la recta de determina mediante

“m = y2 - y1x2 - x1”

La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero e indefinida en algunos casos.

El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta, los valores próximos a cero dan lugar a rectas muy horizontales y los valores alejados de cero a rectas muy verticales.

La pendiente está dada por la diferencia de y sobre la diferencia de x. Esto se puede expresar también como “La cantidad de unidades”.

Geométricamente, la pendiente de la recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje positivo de las abscisas(x) y la ordenada al origen es el punto por donde intercepta la gráfica de la función al eje de ordenadas (0,b).

Ejemplo:

Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

y2 - y1 = 6 - 4 = 2 = 2 x2 - x1 3 - 2 1La pendiente es 2".

Bibliografía:

Esta información ha sido sacada de las paginas:

http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html

http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Funcion_lineal/Propiedades_de_las_funciones_lineales_I.htm

http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/330/mapco330.htm

http://www.zonagratuita.com/a-cursos/matematicas/lineal.html

3.3.- Enuncia cinco aplicaciones de la función lineal o de primer grado.

1) Hallar la ecuación general de la recta que en el plano XY satisface las siguientes condiciones, graficar:

a) Pasa por el punto P(1;2) y tiene pendiente m = 2.

b) Pasa por los puntos P(3;-2) y Q(-1;4).

c) Pasa por el punto S(-1;-2) y tiene pendiente m = -3/5.

Respuesta.:

a) y – 2.x = 0

b) 2.y + 3.x – 5 = 0

c) 5.y + 3.x +13 = 0

2) Hallar las ecuaciones implícita y explícita de las siguientes rectas y graficar:

a) Pasa por el punto P(2;2) y es paralela a la recta de ecuación 3.x - 2.y + 1 = 0.

b) Pasa por el punto P(-1;3) y es perpendicular a la recta de ecuación -3.x/2 + 5.y/6 - 8 = 2.

c) r pasa por el punto Q(2;3) y r' pasa por el punto Q'(-2;-3), sabiendo que son perpendiculares.

Respuesta.:

a) y = 3.x/2 - 1

b) y = -5.x/9 + 13/9

c) ± 3 y x = ±y = 2

3) Hallar los puntos de intersección y graficar:

r: x + y + 1 = 0

r': x - y + 1 = 0

Respuesta.:

P(-1;0)

4) Hallar la distancia del punto Q(-2;-3) a la recta de ecuación 8.x + 15y - 24 = 0.

Respuesta.:

d = 5,31

5) Hallar el valor del parámetro k de modo tal que la recta de ecuación 2.k.x - 5.y + 2.k + 3 = 0:

a) Pase por el punto P(3;-2).

b) Tenga pendiente m = -1/2.

c) Tenga ordenada al origen 3.

d) Pase por el origen de coordenadas.

e) Sea paralela al eje x.

Respuesta.:

a) k = -13/8

b) k = -5/4

c) k = 0

d) k = -3/2

e) k = 0

Bibliografía:

Esta información ha sido extraída de la siguiente página Web:

http://fisicanet.com.ar/matematica/m2tp03/tpm2_23a_funciones_lineales.php

4.- ¿Qué es una función cuadrática?

Todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo. Es así que la ecuación y = x2 tiene como dominio a todos los reales y como conjunto imagen los reales positivos incluido el cero. El valor mínimo (en la imagen) de esta función será para x = 0, obteniendo el punto (0, 0), al que denominaremos vértice de la parábola.

Para f(x) = x2 tenemos que el: Dom: R , Img. : [0, + ¥), vértice (0, 0).

Si aplicamos ambas al mismo tiempo tendremos una expresión (llamada canónica) f(x)= a (x + vx)2 + vy donde el vértice será (- vx, vy). [a representa la concavidad de la parábola, al ser positiva el vértice es el valor mínimo de la función (mínimo), si es negativa la concavidad se invierte y el vértice es el mayor valor (máximo)].

4.1.- Describe y analiza las funciones cuadráticas en los casos que se presentan

La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.

Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.

A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas.

f(x)= x2 - 5x + 4

f(x)= - x2 - 5x + 4

f(x)= - 2x2 - 5x + 4

x

f(x)

0

4

1

0

2

-2

4

0

5

4

x

f(x)

-6

-2

-5

4

-1

8

0

4

1

-2

x

f(x)

-5/2

4

-2

6

-1

7

0

4

1

3

Observación:


Notemos que la función f(x)=1/x2 no es cuadrática porque no se puede expresar de la forma f(x)=ax2 + bx +c.

Bibliografía:

Esta información ha sido extraída de la siguiente página Web:

http://entren.dgsca.unam.mx/ModMat/mm15.html

4.2.- ¿Cómo determinar los interceptos con los ejes y el vértice en una función cuadrática?

Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c).

Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

Bibliografía:

Esta información ha sido extraída de la siguiente página Web:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm

5.- ¿Qué es regresión lineal?

Regresión lineal

La regresión es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.

Presentamos aquí unos textos de Julio H. Cole, profesor en la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Francisco Marroquín, en Guatemala. Estos textos explican con gran sencillez y claridad las nociones básicas de la regresión lineal por lo que, junto con los ejemplos de aplicación a casos concretos, se utilizan en las aulas de muchas universidades latinoamericanas.

Está es la página de donde he sacado está información:

http://www.eumed.net/cursecon/medir/index.htm

5.1.- ¿Cuáles son los pasos para determinar la función a partir de un conjunto de puntos?

Los pasos a seguir para determinar una función a partir de un conjunto de puntos son:

* Primero debemos graficar los datos, por ejemplo en un diagrama sagital para ver si es que se trata de una función o una relación.

*Luego podemos representarlo gráficamente par saber de que clase de función se trata (Lineal, cuadrática, etc.)

RELACIÓN

FUNCIÓN

5.2.- Fundamenta con 5 problemas el tema de regresión lineal

Ejercicio 1)

En una muestra de 1.500 individuos se recogen datos sobre dos medidas antropométricas X e Y. Los resultados se muestran resumidos en los siguientes estadísticos:


Obtener el modelo de regresión lineal que mejor aproxima Y en función de X. Utilizando este modelo, calcular de modo aproximado la cantidad Y esperada cuando X=15.

Solución:

Lo que se busca es la recta, , que mejor aproxima los valores de Y (según el criterio de los mínimos cuadrados) en la nube de puntos que resulta de representar en un plano (X,Y) las 1.500 observaciones. Los coeficientes de esta recta son:



Así, el modelo lineal consiste en:


Por tanto, si x=15, el modelo lineal predice un valor de Y de:

Este problema ha sido sacado de la pagina:

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node42.htm

Ejercicio 2)

Se realiza un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en saliva(X) para predecir la concentración del esteroide en plasma libre (Y). Se extrajeron los siguientes datos de 14 varones sanos:

X

1,4

7,5

8,5

9

9

11

13

14

14,5

16

17

18

20

23

Y

30

25

31,5

27,5

39,5

38

43

49

55

48,5

51

64,5

63

68

1. Estúdiese la posible relación lineal entre ambas variables.

2. Obtener la ecuación que se menciona en el enunciado del problema.

3. Determinar la variación de la concentración de estrona en plasma por unidad de estrona en saliva.

Ejercicio 3)

Los investigadores están estudiando la correlación entre obesidad y la respuesta individual al dolor. La obesidad se mide como porcentaje sobre el peso ideal (X). La respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de reflejo de flexión nociceptiva (Y), que es una medida de sensación de punzada. Se obtienen los siguientes datos:

X

89

90

75

30

51

75

62

45

90

20

Y

2

3

4

4,5

5,5

7

9

13

15

14

1. ¿Qué porcentaje de la varianza del peso es explicada mediante un modelo de regeseión lineal por la variación del umbral de reflejo?

2. Estúdiese la posible relación lineal entre ambas variables, obteniendo su grado de ajuste.

3. ¿Qué porcentaje de sobrepeso podemos esperar para un umbral de reflejo de 10?

Ejercicio 4)

Se lleva a cabo un estudio, por medio de detectores radioactivos, de la capacidad corporal para absorber hierro y plomo. Participan en el estudio 10 sujetos. A cada uno se le da una dosis oral idéntica de hierro y plomo. Después de 12 días se mide la cantidad de cada componente retenida en el sistema corporal y, a partir de ésta, se determina el porcentaje absorbido por el cuerpo. Se obtuvieron los siguientes datos:

Porcentaje de hierro

17

22

35

43

80

85

91

92

96

100

Porcentaje de plomo

8

17

18

25

58

59

41

30

43

58

1. Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión.

2. Obtener la recta de regresión, si el modelo lineal es adecuado.

3. Predecir el porcentaje de hierro absorbido por un individuo cuyo sistema corporal absorbe el 15% del plomo ingerido.

Ejercicio 5)

Se ha medido el aclaramiento de creatinina en pacientes tratados con Captopril tras la suspensión del tratamiento con diálisis, resultando la siguiente tabla:

Días tras la diálisis

1

5

10

15

20

25

35

Creatinina (mg/dl)

5,7

5,2

4,8

4,5

4,2

4

3,8

1. Hállese la expresión de la ecuación lineal que mejor exprese la variación de la creatinina, en función de los dias transcurridos tras la diálisis, así como el grado de bondad de ajuste y la varianza residual.

2. ¿En qué porcentaje la variación de la creatinina es explicada por el tiempo transcurrido desde la diálisis?

3. Si un individuo presenta 4'1 mg/dl de creatinina, ¿cuánto tiempo es de esperar que haya transcurrido desde la suspensión de la diálisis?

Ejercicio 6)

Se han realizado 9 tomas de presión intracraneal en animales de laboratorio, por un método estándar directo y por una nueva técnica experimental indirecta, obteniéndose los resultados siguientes en mm de Hg:

Método estándar

9

12

28

72

30

38

76

26

52

Método experimental

6

10

27

67

25

35

75

27

53

1. Hallar la ecuación lineal que exprese la relación existente entre las presiones intracraneales, determinadas por los dos métodos.

2. ¿Qué tanto por ciento de la variabilidad de Y es explicada por la regresión? Hállese el grado de dependencia entre las dos variables y la varianza residual del mismo.

Bibliografía:

Estos problemas han sido sacados de la página Web:

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node43.htm